| EXPONENCIAIS |
| (Potenciação) |
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Para um melhor estudo deste capítulo
(Exponenciais) iremos dividi-lo em 4 partes:
- Equações Exponenciais;
- Funções Exponenciais;
- Gráficos de Funções Exponenciais;
- Inequações Exponenciais.
Antes de começarmos a estudar as equações exponenciais
propriamente ditas, devemos dar uma olhada nas principais propriedades de potenciação e
radiciação. Começando com potenciação:
POTENCIAÇÃO
Para indicar que um número está elevado à uma potencia
qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.
5 elevado à potência 4
54
Quando dizemos que um número qualquer está "elevado
à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por
ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:
54=5·5·5·5=625
Veja mais exemplos:
29=2·2·2·2·2·2·2·2·2=512
33=3·3·3=27
82=8·8=64 |
Genéricamente podemos representar uma
potência:
Onde chamamos "X" de base
e "n" de "expoente" ou "potência".
Agora vamos ver as principais Propriedades de potenciação.
a0=1 |
Esta é uma definição de potenciação,
"a" é um número qualquer. Usamos isso para que outras coisas sejam explicadas
na Matemática (vocês verão mais tarde). |
a1=a |
A potência 1 indica que devemos multiplicar "a"
por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio "a". |
1n=1 |
A potência "n" indica
quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes
seja, sempre será 1. |
0n=0 |
Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes
o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero. |
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Esta também é uma definição. Sempre que
tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de
cima da fração para de baixo da fração. |
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A regra acima também vale ao contrário. Se
tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar
o sinal da potência. |
Estas são as principais propriedades de
Potenciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer
operações com potências (multiplicação, divisão...).
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Vamos começar com a multiplicação. Por exemplo, se temos
o número 54 multiplicado por 53,
| 54 *53 |
Esta é a operação que queremos efetuar.
Vamos abrir a potência |
| (5*5*5*5)*(5*5*5) |
Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado
na potência sete |
| 54 *53=57 |
Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação
de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genéricamente temos: |
| Xa*Xb=Xa+b |
Esta é a regra, "X" pode ser qualquer
número (real, imaginário...) que continua valendo. É muito importante entendê-la, pois
é muito utilizada. |
Agora vamos estudar a divisão de potências. Vamos fazer
um exemplo, 126 divididos por 122 . Veja a tabela
abaixo:
|
Esta é a divisão que queremos efetuar.
Vamos novamente abrir a potência. |
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Agora podemos cortar os termos semelhantes
que estão acima e abaixo da fração. Portanto podemos cortar dois números 12 de cima
com dois números 12 de baixo. |
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Cortando, temos: |
12.12.12.12 |
Veja que esta multiplicação é igual à 124
, isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base. Conserva-se a
base e subtrai-se os expoentes. Genéricamente, temos: |
|
Novamente, "X" pode ser
qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras
mais utilizadas. |
Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência.
Veja o exemplo:
(42)3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:
(42)3
|
Vamos abrir a potência de dentro do
parênteses |
(4.4)3 |
Agora a potência fora do parênteses diz que
devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes, |
(4.4).(4.4).(4.4) |
E isso nos dá a potência 46. E
agora tiramos outra regra para potências. |
(42)3
=42*3 =46 |
Generalizando, ficamos com: |
| (Xa)b=Xa*b |
Até agora vimos multiplicação e divisão
com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma
base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes
iguais.
Veja um exemplo:
65·95
|
Este é o exemplo. Agora vamos abrir as
potências. |
6·6·6·6·6·9·9·9·9·9 |
Qualquer multiplicação tem a propriedade de
comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera.
Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem. |
| 6·9·6·9·6·9·6·9·6·9 |
Agora temos a multiplicação 6 · 9
aparecendo 5 vezes. Então |
65 ·
95=(6 · 9)5 |
E esta propriedade podemos aplicar para
qualquer número. Generalizando: |
| Xa·Ya=
(XY)a |
Os números "X" e "Y"
podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos. |
Esta propriedade acima também é verdade
para uma divisão. Veja a tabela abaixo.
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Este é o exemplo que iremos
usar. Vamos abrir as potências. |
|
Como temos multiplicação em
cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra. |
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E isto é a fração 8/5 elevado
na potência 4. |
= |
E esta propriedade pode se
aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando, |
|
Os números "X"
e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos. |
ATENÇÃO |
Quando tivermos um número negativo elevado numa
potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
(-5)2=(-5)·(-5)=+25 |
| (-2)4=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+16 |
Note, então, que quando temos um número
negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse
positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":
| (-5)2=52=25 |
| (-2)4=24=16 |
| Se "k" for PAR (-X)k=Xk |
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5) |
Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos
(-5)2=+25, substituindo ao lado: |
(-5)3=25·(-5)=-125 |
Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer
expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta |
PEGA-RATÃO |
| (-5)2 é totalmente diferente de -52
. No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta
é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto
a resposta é -25. |
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Para representar números muito grandes ou
até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas.
Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após "Radiciação"
iremos estudar esta base.
Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para
radiciação. Clique na seta "avançar" abaixo e continue estudando.
Todas estas fórmulas você encontra, para referência
rápida, no ítem resumo do menu lá em cima da página.
 
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