Na figura abaixo são apresentados: um quadrado de lado 1 u.c. e 4 arcos de circunferências todos com centro nos vértices dos quadrados e com raio igual ao lado do quadrado. Com estas informações, qual o valor da área hachurada?

Primeiro devemos fazer alguns "riscos" para nos auxiliar na montagem da resolução.

Veja a figura abaixo:

Note que o risco vermelho adicionado à figura tem comprimento exatamente igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, vale 1. Agora vamos fazer outro "risco" nesta figura:

Note, novamente, que o novo risco vermelho da figura acima tem comprimento igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, também 1. Com isso, temos o seguinte triângulo equilátero destacado:

O lado deste triângulo vale 1 (mesma medida do lado do quadrado). Portanto, utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero, podemos concluir que a área deste triângulo será:

A =	L2		A =	12		A =
	4			4			4

Como sabemos, os ângulos internos de um triângulo equilátero valem todos 60^o. Portanto, podemos destacar o seguinte setor circular no desenho:

Vamos chamar este de setor1.
Sabemos que o raio deste arco é 1 (mesmo lado do quadrado). Portanto, como 60^o equivalem a 1/6 da circunferência completa, a área deste setor será 1/6 área completa do círculo. A área completa do círculo é:

A = .R²
A = .1²
A =

Portanto, a área do setor1 será

Asetor1 =	R
	6

Agora, de posse destes valores, podemos descobrir a área do pedaço destacado na figura abaixo:

Esta área será igual à área do setor1 menos a área do triângulo equilátero. Vamos chamar esta área de A1, ou seja:

A1 = - 6 4

Guardamos este valor e vamos para um próximo passo. Sabemos que o ângulo interno de um quadrado vale 90^o. Portanto:

O setor circular destacado de amarelo na figura acima tem 30^o. Se 30^o equivalem a 1/12 de 360^o (circunferência completa), sua área também será. Ou seja, chamando de setor2, temos:

Asetor2 =	R
	12

Veja só, se pegarmos este valor e diminuirmos A1, teremos um pedaço bem interessante para trabalharmos.

A2 = Asetor2 - A1 =		- (	R	-		)
	12		6		4

A2 =		-		+
	12		6		4

Tirando o MMC e calculando:

A2 =	- 2 + 3
	12

A2 =	3 -
	12

Guardamos este valor e vamos agora calcular a seguinte área (essa é mais fácil).

Note que esta área nada mais é do que um setor de 90^o do círculo de rai 1. Como 90^o equivalem a 1/4 da circunferência completa, sua área também será 1/4 da área total. Ou seja, como a área total vale , A3 irá valer:

A3 =	R
	4

Veja o desenho abaixo:

Se o lado do quadrado vale 1, sua área também vale 1. Portanto, a área cinza marcada na figura acima será:

A_cinza = 1 - A3 - A2

Acinza = 1 -	R	-	3 -
	4		12

Tirando MMC e calculando:

Acinza =	12 - 3 - (3 - )
	12

Acinza =	12 - 3 - 3 +
	12

Acinza =	12 - 2 - 3
	12

Veja, a área solicitada no exercício é uma área formada por 4 partes de A_cinza :

Então sua área será 4 vezes a A_cinza:

Área Pedida = 4.(	12 - 2 - 3	)
	12

Área Pedida =	12 - 2 - 3
	3

Esta é a resposta!

voltar para a listagem das dúvidas resolvidas