Sabendo que o comprimento do segmento AB da figura abaixo é 12. Qual o valor da área hachurada (desprezando-se as casas após a vírgula)? Utilize = 22/7

    (A) 10
    (B) 14
    (C) 20
    (D) 28
    (E) 56

Vamos colocar alguns "incrementos" na figura para melhor podermos calcular:

Vamos chamar o raio do círculo de centro C2 de “R” e o raio do círculo de centro C1 de “r”. Portanto, o raio do círculo maior (de centro C) será (2R + 2r)/2 = R + r

Utilizando a fórmula da área de um círculo, vamos achar a área da círcunferência de centro C e raio = R + r

Area(C) = (R+r)²
Area(C) = (R² + 2Rr + r²)
Área(C) = R² + 2 Rr + r²

Agora vamos achar a área do círculo de centro C1:

Área(C1) = r²

E a área do círculo de centro C2:

Área(C2) = R²

Portanto, a área hachurada será a área do círculo externo menos as áreas dos dois círculos internos, ou seja

Area(hachurada) = R² + 2 Rr + r² - R²- r²
Area(hachurada) = 2 Rr

Agora devemos olhar para o triângulo CEA.
Se o ponto C é o centro do círculo externo, o segmento CF mede R + r. Como o segmento EF vale 2r, então o segmento CE vale (R + r) - 2r, que resulta CE=R - r.

O segmento CA é o raio do círculo externo, então vale R + r, e o segmento AE é metade do segmento AB, então vale 6. Com isso temos o triângulo retângulo ACE. Aplicando Baskhara temos:

(R + r)² = (R – r)² + 6²
R² + 2Rr + r² = R² - 2Rr + r² + 36
4Rr = 36
Rr = 9

Agora, substituindo este valor na fórmula da Área(hachurada), temos:

Area(hachurada) = 2 Rr
Area(hachurada) = 2 9
Area(hachurada) =18*(22/7)
Area(hachurada) = 56 (Desprezando as casas decimais) Resposta certa, letra "E"

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