( CONSART - 1975 ) O ponto O é o centro do círculo ACBD e extremidade das semicircunferências OA e OB da figura. A reta que contém O e divide a região hachurada em duas partes de mesma área faz com OA um ângulo de:

    (A) 36^o
    (B) 45^o
    (C) 52^o 30'
    (D) 60^o
    (E) 75^o

Traduzindo o que o exercício pede, teremos um segmento na parte cinza que irá dividi-lo em duas partes de mesma área. Como na figura abaixo (o segmento mais grosso):

O exercício pede justamente o valor do ângulo . Vamos dizer que o raio do círculo vale "R".

Para tal cálculo, devemos ter em mente a fórmula da área de um setor circular qualquer (vamos chamar de "As", Área do setor). Lembre-se que esta fórmula nada mais é do que uma regrinha de três, como mostrado no quadro abaixo:

1R21 --->1 21 As --->

calculando:

As =1 R2 2

Sempre lembrando que o deve ser em radianos.

Com esta fórmula em mente, voltamos a pensar no enunciado.

Olhando para A₁, podemos dizer que este será a soma da área de um semicírculo (no desenho abaixo pintado de vermelho) com a área de um setor circular (no desenho abaixo pintado de verde).

Olhando para o desenho, vemos que o semicírculo possui diâmetro igual à "R", portanto, seu raio irá valer R/2 e sua área - se fosse um círculo completo - seria (R/2)². Ou seja, como temos metade de um círculo, teremos metade da área, metade de (R/2)²:

1Avermelho =1	1R21
	8

E utilizando a fórmula demonstrada no início do problema, vamos calcular a área do setor verde:

1As =1	1R21
	2

Como sabemos que A₁ será a soma destas duas áreas, temos:

(1)111111	1A1 =1	1R21	1+1	1R21
		8		2

Guardamos esta equação como equação (1).

Devemos agora achar A₂.

Olhando para A₂ podemos dizer que será a área de um setor circular (180^o - ) - marcado de amarelo na figura abaixo - menos a área de um semicírculo igual ao anterior - marcado de azul na figura abaixo. Veja as figuras:

A área do setor (As2) iremos calcular pela fórmula. Mas, lembrando que o arco deve ser dado em radianos, 180^o vira rad.

As2 =1	( - )R2
	2

E a área do semicírculo já é conhecida:

1Aazul =1	1R21
	8

E A₂ será As2 - A_azul , portanto:

(2)111111	1A2 =1	1( - )R21	1-1	1R21
		2		8

Esta é a equação (2) da área A₂. Como o exercício diz que A₁ deve ser igual a A₂, vamos igualar as equações (1) e (2).

1R21	1+1	1R21	1=1	1( - )R21	1-1	1R21
8		2		2		8

Podemos colocar o termo R²/2 em evidência dos dois lados da igualdade:

1R21	1. (1	11	1+ ) =1	1R21	1. ( - -1	11	1)
2		4		2		4

Podemos cortar o termo R²/2 que está presente dos dois lados:

(1	11	1+ ) =1	1( - -1	11	1)
	4			4

Vamos passar o que é para o lado esquerdo da equação e o que não é para o lado direito:

+ = -1	11	1-1	11
	4		4

2= -1	11	1-1	11
	4		4

Tirando o MMC:

8 = 4 - -

4

Portanto:

8 = 2

=1	121
	8

=1	11
	4

Este é o valor em radianos, para transformar em graus devemos somente substituir o por 180^o.

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	4

= 45^o

Resposta certa, letra "B". Trabalhoso, não? :-)

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