Banco de questões - Geometria Plana (Semelhança de áreas)
BANCO DE QUESTÕES
(Gemetria Analítica - Circunferência)

(OBM 1999 - 1a Fase Nível 3 ) Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo retângulo em A, e com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o terreno em duas partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaixo. Assinale a opção que contém o valor mais aproximado do segmento BM.

geoplana0201.gif (1406 bytes)

    (A) 55m
    (B) 57m
    (C) 59m
    (D) 61m
    (E) 63m
 

Veja que os triângulos ABC e MBN são semelhantes, portanto, podemos dizer que a razão de suas alturas (ao quadrado) é igual à razão de suas áreas.

Vamos dizer que o triângulo ABC tem área "A", se a parede MN dividiu em duas partes de áreas iguais, a área do triângulo MBN valerá A/2 (metade da área total). A razão dita anteriormente fica assim:

(84)2   =  A
vaziop.gif (807 bytes) vaziop.gif (807 bytes)
(BM)2 A/2

Calculando, temos:

(84)2 . A   =  A . (BM)2
vaziop.gif (807 bytes)
2

Podemos cortar os fatores "A" dos dois lados da equação:

(84)2   =  (BM)2
vaziop.gif (807 bytes)
2

Calculando:

geoplana0202.gif (1225 bytes)

Racionalizando, temos:

geoplana0203.gif (1389 bytes)

Lembrando que raiz2.gif (890 bytes) vale aproximadamente 1,4:

BM = 42 . 1,4
BM = 58,8

Resposta certa, letra "C"

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