( IME - 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.

    a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w
    b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w

Para resolver o item "a", devemos visualizar o triângulo abaixo:

Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo ( + ):

sen ( + ) =	BF
	1
BF = sen ( + )

cos ( + ) =	AF
	1
AF = cos ( + )

Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:

BF = sen ( + )

AF = cos ( + )

(2)	AF = cos cos - sen sen

Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:

Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo :

sen =	x
	1
sen =  x

cos =	y
	1
cos = y

Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:

Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo :

sen =	z
	1
sen =  z

cos =	w
	1
cos = w

Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:

(2)	AF = cos cos - sen sen
	AF = wy - zx

Estas são as respostas para o item "a" do exercício.

O item "b" agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:

tan =	AF
	BF

Substituindo pelos valores encontrados no item "a":

tan =	wy - zx
	xw + yz

Esta é a resposta para o item "b".

Atenciosamente
Prof. Caju

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