BANCO DE QUESTÕES
(Sitema de equações e Logaritmos)
Se (xo,yo) é uma solução
real do sistema:
log2(x+2y) – log3(x
– 2y) = 2
x2 – 4y2 = 4 |
Então xo + yo
é igual a:
(A) 7/4
(B) 9/4
(C) 11/4
(D) 13/4
(E) 17/4
Vamos mostrar duas maneiras diferentes de resolver esta
questão.
| 1a
Maneira - (Rápida, pouco cálculo, mas intuitiva) |
| (1) |
log2(x+2y) – log3(x
– 2y) = 2 |
| (2) |
x2 – 4y2 = 4 |
Veja que a equação (2)
é o produto da soma pela diferença, portanto, fatorando:
x2 – 4y2 = 4
(x-2y).(x+2y)=4
Olhando para esta multiplicação, vemos
os fatores iguais aos logaritmandos da equação (1). Para encurtar o cálculo desta
questão, vamos tentar alguns valores para (x-2y) e para (x+2y).
Para o produto de dois fatores resultar
4, existem infinitas respostas, mas as mais óbvias são as inteiras, ou seja:
2 x 2 = 4
1 x 4 = 4
4 x 1 = 4
Se dissermos que (x-2y)=2 e (x+2y)=2,
isso não poderá ocorrer, pois ao substituir na equação (1), teríamos:
log2(2) – log3(2)
= 2
log3(2) = -1
Absurdo, portanto 2 x 2 não podemos ter.
Se tentarmos (x-2y) = 1 e (x+2y) = 4, teremos:
log2(4) – log3(1)
= 2
2 - 0 = 2
2 = 2
Ok, chegamos em uma verdade, portanto, descobrimos que
(x-2y) = 1 e
(x+2y) = 4
Estes valores satisfazem a equação (1)
e a equação (2), portanto, podemos utilizá-los.
Agora temos um novo sistema bem mais
fácil de resolver:
| (1) |
(x-2y) = 1 |
| (2) |
(x+2y) = 4 |
Somando as duas equações, temos:
2x = 5 |
x = |
5 |
|
2 |
Substituindo este valor em (1), temos:
5 |
- 2y = 1 |
|
2 |
 |
5 |
- 1 = 2y |
|
2 |
3 |
= 2y |
|
2 |
|
| y = |
3 |
|
4 |
Como o exercício pede a soma destes
valores, temos:
(5/2) + (3/4) = 13/4
Resposta "D"
| 2a
Maneira - (Demorada, muito cálculo) |
| (1) |
log2(x+2y) – log3(x
– 2y) = 2 |
| (2) |
x2 – 4y2 = 4 |
Fatorando a equação (2):
| (1) |
log2(x+2y) – log3(x
– 2y) = 2 |
| (2) |
(x+2y).(x-2y) = 4 |
Vamos isolar o valor (x-2y) na equação
(2):
| (1) |
log2(x+2y) – log3(x
– 2y) = 2 |
| (2) |
(x-2y) |
= |
4 |
|
(x+2y) |
|
Agora vamos substituir este valor na
equação (1):
| log2(x+2y) – log3( |
4 |
|
x+2y |
|
) = 2 |
|
Vamos aplicar propriedades de
logaritmo na divisão |
log2(x+2y)
– [ log3(4)-log3(x+2y) ] = 2 |
Retirar os colchetes |
log2(x+2y)
– log3(4) + log3(x+2y) = 2 |
Para um melhor cálculo, vamos
colocar todos os logaritmos na base 2 |
| log2(x+2y) – |
log24 |
|
log23 |
|
+ |
log2(x+2y) |
|
log23 |
|
= 2 |
|
Tirando o MMC e efetuando as somas de
frações |
log2(x+2y).log23
– log24 + log2(x+2y) = 2log23 |
|
log23 |
|
Corta-se o MMC |
log2(x+2y).log23
– log24 + log2(x+2y) = 2log23 |
|
log2(x+2y).log23
+ log2(x+2y) = 2log23 + log24 |
No lado esquerdo, vamos colocar log2(x+2y)
em evidência. No lado direito vamos aplicar propriedades de logaritmo |
log2(x+2y)
. [ log2(3) + 1 ] = log2(32) + log24 |
Vamos substituir o "1" por
log22 |
log2(x+2y)
. [ log2(3) + log22 ] = log2(9) + log24 |
Aplicando propriedades de logaritmos. |
log2(x+2y)
. log2(3.2) = log2(9.4) |
|
log2(x+2y)
. log2(6) = log2(36) |
|
| log2(x+2y) = |
log2(36) |
|
log2(6) |
|
|
Podemos "voltar" com a
propriedade de mudança de bases |
log2(x+2y)
= log6(36) |
Sabemos que
log6(36) = 2 |
log2(x+2y)
= 2 |
|
(x+2y)=22 |
|
| x+2y
= 4 |
Se x+2y = 4, pela equação (2) temos que x-2y = 1. Com isso temos um
novo sisteminha como na primeira maneira de resolver.
| (1) |
(x-2y) = 1 |
| (2) |
(x+2y) = 4 |
Assim x=5/2 e y=3/4 |
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