(UnB - 1988) Assinale as afirmações verdadeiras.

1	A)	Se sen x . cos x > 0 , então sen ( + 2x) < 0;
	B)	A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;
	C)	Se    0 < x <      e     |sen x|=1/2,      então x = /6;
	D)	Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0
	E)	Existe um único valor de x entre 0 e /2 tal que sec2(x) - tg2(x) - 1 = 0
	F)	O período da função cos(2x) é menor do que o período da função cos(x).
	G)	No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo oposto a este cateto é menor do que 30o.
	H)	cos(/2 rad) < cos (1 rad)

(a) Se sen x ^. cos x > 0 , então sen ( + 2x) < 0;

O enunciado nos diz sen x ^. cos x > 0, vamos pegar esta sentença e multiplicar por 2 dos dois lados da desigualdade:

2 ^. sen x ^. cos x > 2 ^. 0  ou
2 ^. sen x ^. cos x > 0

Note que do lado esquerdo da desigualdade temos o valor de sen(2x), substituindo:

sen (2x) > 0

Guarde que sen (2x) é um valor positivo. O exercício diz que se isso for verdade então sen ( + 2x) < 0 . Aplicando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos:

sen ( + 2x) < 0
sen() ^. cos(2x) + sen(2x) ^. cos() < 0

Lembrando que sen() = 0 e cos() = -1, temos

- sen(2x) < 0

Note que na primeira sentença descobrimos que sen (2x) é um valor positivo, portanto, com o sinal negativo na frente se torna negativo. Fazendo com que a afirmativa "A" seja VERDADEIRA.

AFIRMATIVA B - VERDADEIRA

(b) A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;

Lembre que co-tangente é o inverso da tangente:

cotg(x) =	1
	tg(x)

Portanto, como não existe divisão por zero, a co-tangente só não irá existir quando a tangente for 0, ou seja, não irá existir em 0^o, 180^o, 360^o,...

A co-secante de um arco é o inverso do seno deste arco:

cosec(x) =	1
	sen(x)

Portanto, pelo mesmo motivo, não irá existir quando sen(x) for nulo, ou seja, não irá existir para x = 0^o, 180^o, 360^o,...

Tornando a afirmativa verdadeira.

AFIRMATIVA C - FALSA

(c) Se    0 < x <     e    |sen x|=1/2,   então x = /6;

Esta afirmativa é um pega-ratão, note que se substituirmos o valor de x que foi dado (x = /6), poderemos dizer que está correta (pois |sen /6|=1/2, realmente). O que está errado é dizer que só é verdade se x for /6, pois também é verdade para 5/6 e muitos outros.

AFIRMATIVA D - FALSA

(d) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0

Os pontos assinalados na figura correspondem aos arcos em que o valor do seno é igual ao valor do co-seno. Estes arcos são 45^o, 225^o e todos os seus equivalentes. Ou seja:

tg(45^o) = 1
tg(225^o) = 1

Tornando a afirmativa falsa.

AFIRMATIVA E - FALSA

(e) Existe um único valor de x entre 0 e /2 tal que sec²(x) - tg²(x) - 1 = 0

Utilizando a equivalência da trigonometria, que é válida para qualquer valor de "x":

sec²(x) = tg²(x) + 1

Vamos substituir na equação dada:

sec²(x) - tg²(x) - 1 = 0
tg²(x) + 1 - tg²(x) - 1 = 0
0=0

Com esta resposta concluímos que, para qualquer valor real de x, teremos a equação dada como sendo verdadeira. Portanto, a afirmativa é falsa, já que diz que existe apenas um valor de x.

AFIRMATIVA F - VERDADEIRA

( f ) O período da função cos(2x) é menor do que o período da função cos(x).

A função cos(2x) possui período , e a função cos(x) possui período 2.

AFIRMATIVA G - VERDADEIRA

(g) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo oposto a este cateto é menor do que 30^o.

Veja o desenho do triângulo abaixo:

Aplicando a fórmula do seno, temos:

sen() =	350
	1000

sen() = 0,35

Sendo um ângulo interno de um triângulo retângulo, só pode ser pertencente ao primeiro quadrante. O seno de 30^o vale 0,5, ou seja, se possui um valor de seno menor do que 0,5 e está no primeiro quadrante, com certeza será menor do que 30^o.

AFIRMATIVA H - VERDADEIRA

(h) cos(/2 rad) < cos (1 rad)

Sabemos que cos(/2) = 0 e também sabemos que 1 radiano encontra-se no primeiro quadrante, portanto, é um valor positivo. O zero é menor do que qualquer valor positivo, por isso a afirmativa é correta.

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