( AFA ) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, EFD é um triângulo equilátero e CDE são colineares. Sabendo que CB=FE=2 u.c., qual a área do triângulo DGH?

Primeiramente, vamos analisar algumas propriedades do desenho que serão importantes para a resolução.

A primeira propriedade, que é vista de cara, são os valores de comprimento das arestas. Como ABCD é um quadrado e EFD é um triângulo equilátero, podemos colocar o valor 2  em, praticamente, todas as arestas da figura. Veja o desenho abaixo.

Veja, que, o ponto D divide o segmento CE em dois segmentos de mesmo comprimento, portanto, é o ponto médio.

Prolongando o segmento BA e traçando uma paralela a BC passando por E temos um retângulo que pode nos auxiliar a "pegar" outra propriedade bem interessante. Veja a figura abaixo:

Note, que, o segmento BE é a diagonal do retângulo BPEC. Como D é o ponto médio de CE, e o segmento DA é paralelo à BC, o ponto G será o ponto médio da diagonal do retângulo, portanto, será o ponto médio do segmento AD. Sendo assim, o comprimento de GD será a metade de DA, ou seja, .

O triângulo GDE é retângulo, portanto, já sabemos o valor de sua base e de sua altura. Com isso, podemos calcular o valor da área, ou seja, chamando esta área de A_GDE, temos.

AGDE =1	2 .
	2

Calculando:

A_GDE = 11 u.a.

Guardaremos este valor para uso futuro.

Pronto, já temos todas informações necessárias para calcularmos a área desejada. Para facilitar a visualização, vamos trabalhar somente com o triângulo GDE da figura original, pois o restante já não será mais útil.

Note, que, o lado DH foi chamado de "X".

Relembrando a fórmula de trigonometria da área de um triângulo, poderemos calcular a área do triângulo hachurado assim que calcularmos o valor de "X". Para isso, vamos observar as áreas dos triângulos GDH e DHE por esta fórmula.

AGDH =1	1 . X . sen(30o)1	1u.a.1111111	ADHE =1	12 . X . sen(60o)1	u.a.
	2			2

Observe, que, a soma destas duas áreas irá resultar, exatamente, a área do triângulo GDE (que calculamos anteriormente, A_GDE = 11 u.a.). Portanto, falando matematicamente, podemos escrever:

A_GDE  = A_GDH + A_DHE

Substituindo os valores:

11 =1	1 . X . sen(30o)1	1+1	12 . X . sen(60o)1
	2		2

Lembrando:

sen(30^o) = 1/2
sen(60^o) = /2

Podemos substituir:

	1 . X .1	111		12 . X .1	11
11 =1		2	1+1		2
	2			2

O denominador 2 é comum às duas frações. Sendo assim, podemos escrever:

	1 . X .1	111	1+ 2 . X .1	11
11 =		2		2
	2

"Passando" o 2, que está dividindo o lado direito, multiplicando para o lado esquerdo e efetuando as multiplicações do numerador da fração maior, temos:

2 . 11 =	. X	+	2 . X .
	2		2

Novamente, o 2 é denominador comum, podemos escrever:

22 =	.X + 2.X.
	2

"Passando" o 2 que está dividindo para o outro lado multiplicando:

22 . 2 = .X + 2.X.
44 = .X + 2.X.

Do lado direito da equação, podemos colocar o fator ".X" em evidência:

44 = .X.( 1 + 2)

Vamos isolar o valor "X":

X =	44
	.( 1 + 2)

Agora, com o valor de "X" em mãos, calcularemos a área do triângulo hachurado pela fórmula da trigonometria (vista anteriormente):

	.	44	. sen (30o)
AGDH =		.(1+2)
	2

O fator pode ser anulado e sen(30^o)=1/2:

	44	.	1
AGDH =	(1+2)		2
	2

Efetuando a multiplicação:

		44
AGDH =		2(1+2)
	2

Efetuando a divisão das frações:

AGDH =		44	.	1
		2(1+2)		2

Calculando:

AGDH =	44
	4(1+2)

Simplificando:

AGDH =	11
	(1+2)

Racionalizando:

AGDH =	11	.	(1-2)
	(1+2)		(1-2)

Efetuando os cálculos, temos:

A_GDH = (2 - 1) u.a.
Ufa, esta é a resposta final!! :)

Agora tente você:

(AFA - 1998) Na figura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 72 cm. M é o ponto médio de AB e CE=16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de:

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