( ITA - 88 ) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices

B(1,1) e C(3,-2),

o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta de equação

3x-4y+2=0.

Então, a reta que contém o cateto AC é dada por:

(A) 4x+3y-6=0
(B) 4x+3y-3=0
(C) 3x-4y+1=0
(D) 2x+5y=0
(E) 4x-3y+6=0

Veja a ilustração das informações disponibilizadas no enunciado:

Como é dito que o lado AB é paralelo à reta vermelha e o ângulo reto está presente no vértice A, o desenho mais indicado para esta situação seria:

Onde a figura amarela é o triângulo retângulo de que o exercício se refere.

Sabemos as coordenadas dos pontos B e C e como não sabemos as do ponto A, vamos dizer que A(x, y).

Inicialmente, vamos transformar a equação geral da reta vermelha no formato reduzido (apenas isolar "y").

3x - 4y + 2 = 0 3x + 2 = 4y
y =	3x + 2
	4

Assim podemos concluir que o coeficiente angular da reta vermelha vale 3/4. Portanto, por paralelismo, o coeficiente angular da reta AB (paralela à vermelha) também será 3/4. Lebrando da fórmula do coeficiente angular "a" de uma reta definida por dois pontos:

a =	y2 - y1
	x2 - x1

Podemos utilizar esta fórmula para a reta AB.

A(x, y) B(1,1)
a	=	3
		4
1 - y	=	3
1 - x		4

Efetuando as operações:

4.( 1 - y ) = 3.( 1 - x )
4 - 4y = 3 - 3x
4 - 3 = 4y - 3x
(1)    4y - 3x = 1

Guardamos esta como sendo a equação (1).

Como o vértice "A" possui um ângulo reto, notamos claramente que a reta AC será perpendicular à reta AB. Lembrando que, no perpendicularismo, os coeficientes angulares são inversos (1/a) e opostos (troca de sinal), podemos concluir que o coeficiente angular "m" da reta AC é:

m = -	4
	3

Utilizando, novamente, a fórmula do coeficiente angular para a reta AC, teremos:

A(x, y) C(3, -2)
m	= -	4
		3
-2 - y	= -	4
3 - x		3

Efetuando as operações:

3.( -2 - y ) = -4.( 3 - x )
- 6 - 3y = - 12 + 4x
- 6 + 12 = 4x + 3y
(2)  4x + 3y = 6

Com as duas equações em mãos, podemos formar um sistema e calcular o valor de x e de y.

(1)   4y - 3x = 1
(2)   4x + 3y = 6

Vamos isolar o valor de y na equação (1):

y =	3x + 1
	4

Agora podemos substituir este valor na equação (2):

4x + 3.(	3x + 1	) = 6
	4

Tirando MMC:

16x + 3.(3x+1)	=	24
4		4

Podemos cortar os denominadores e efetuar o resto das operações:

x =	21
	25

Agora, para descobrir o valor de y iremos apenas substituir o valor de x na equação (2):

4 .	21	+ 3y = 6
	25

84	+ 3y = 6
25

3y = -	84	+ 6
	25

3y =	- 84 + 150
	25

3y =	66
	25

y =	66
	25.3

y =	22
	25

Com isso sabemos as coordenadas do ponto "A".

O exercício pede a equação da reta AC:

A( 21 , 22 ) 25 25

C(3,-2)

Já temos o valor do coeficiente angular da reta AC (chamamos de "m"). Como sabemos, qualquer reta terá sua equação reduzida no formato:

Onde "m" é o coeficiente angular, neste caso vale m=-4/3. Portanto:

y = -	4	x + b
	3

Para descobrir o "b", vamos substituir o ponto C na equação (pois, com certeza, é um ponto da reta AC):

- 2 = -	4	. 3 + b
	3

- 2 = - 4 + b
-2 + 4 = b
b = 2

Portanto, a equação da reta no formato reduzido é:

y = -	4	x + 2
	3

Note que, nas respostas todas equações estão no formato geral, portanto, vamos transformar. Tirando MMC:

3y = -4x + 6

3

3y = -4x + 6
4x + 3y - 6 = 0

Resposta certa, letra "A".

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