Banco de Questões - Equação do Segundo Grau (Valor Mínimo)

BANCO DE QUESTÕES
(Equação do Segundo Grau - Valor Mínimo)

(BANRISUL - 2001) O quadrado de área A(x) está inscrito em um quadrado de lado 5, conforme indica a figura abaixo.

O valor mínimo de A(x) é

    (A) 6,25
    (B) 7,00
    (C) 8,33
    (D) 12,50
    (E) 25,00

Os valores que estão em jogo nesta situação, são: "x" e "5". Portanto, devemos expressar o valor do lado do quadrado cinza em função de x e 5.

Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo verde da figura abaixo:

banr02.gif (3277 bytes)

A hipotenusa deste triângulo é o lado do quadrado cinza. Aplicando pitágoras neste triângulo, temos:

lado² = x² + (5 - x)²

Desenvolvendo a expressão dos parênteses:

lado² = x² + 25 - 10x + x²
lado² = 2x² - 10x + 25

Note que a área A(x) do quadrado cinza é justamente lado², portanto, podemos substituir:

A(x) = 2x² - 10x + 25

Veja que esta é uma equação do segundo grau (o gráfico é uma parábola), mostrada no desenho abaixo:

banr03.gif (2222 bytes)

O valor mínimo (pedido pelo exercício) da área do quadrado, será exatamente o valor da coordenada Y do vértice desta parábola (Y_v).

Lembrando da fórmula do Y_v.

Onde = b²-4.a.c.

O Y_v será:

A(x) = 2x² - 10x + 25

Y_v = 12,5

Resposta correta, letra "D".

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