(UERJ) De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

          (A) 12
          (B) 24
          (C) 36
          (D) 48
          (E) 64

Para facilitar o cálculo, vamos separar as colunas da tabela abaixo:

Como não pode haver repetição de letras nas colunas, em cada uma delas irá aparecer, com certeza, ou um A ou um B ou um C. Para nos auxiliar, vamos colocar nas casinhas de cima três letras especiais:

Em baixo do "A" teremos DUAS opções para escrever: ou B ou C. Em baixo do "B" teremos duas opções para escrever: ou A ou C. E em baixo do "C" também teremos duas opções: ou A ou B.

Pelo PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM teremos 2x2x2 possibilidades diferentes para esta situação, ou seja, quando A está na primeira coluna, B na segunda e C na terceira (todas na casa superior) teremos 8 possibilidades diferentes de montagem da tabela.
Mas também poderemos ter o "A" na segunda coluna, o "C" na primeira coluna, etc. Então, para cada maneira de montar as casinhas inferiores, podemos ordenar as colunas de todas formas possíveis e obter novas tabelas. O número de maneiras de ordenar as três colunas é P₃ (permutação de três elementos). Sabendo que P₃ = 3 ^. 2 ^. 1 = 6, o número total de maneiras de escrever as letras dadas na tabela será

6 ^. 8 = 48

Uma ótima continuação para esta questão é a seguinte:

De quantos modos se pode colocar numa tabela 3x3 duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

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