Sendo Z pertencente ao conjunto dos números Complexos, tal que Z³=, quais valores Z pode assumir?

Para responder esta questão, devemos lembrar que um número complexo sempre pode ser representado por sua forma trigonométrica:

Z = |Z| ^. (cos + i ^. sen )
onde |Z| é o módulo do número complexo Z e é o argumento do mesmo.

E também, uma potência de um número complexo é dado pela fórmula:

Zⁿ = |Z|^{n .} [cos (n ^. ) + i.sen (n ^. )]

E, por último, é o conjugado do complexo Z. Ou seja, se Z=a+bi teremos =a-bi.

Portanto, a igualdade Z³= dada no enunciado pode ser rescrita como:

|Z|^{3 .} [cos (3 ^. ) + i ^. sen (3 ^. )] = |Z| ^. (cos + i ^. sen ) 

Através desta igualdade, concluímos que Z³ só será igual a

(1)      |Z|³ = |Z|
e
(2)     cos (3 ^. ) + i ^. sen (3 ^. ) = cos + i ^. sen

Da igualdade (1) concluímos que o módulo de Z só poderá ser 0 ou 1.

Já a igualdade (2) (que iremos descobrir o argumento de Z), não é tão direto de se achar o resultado. Devemos efetuar alguns cálculos.

cos (3 ^. ) + i ^. sen (3 ^. ) = cos + i ^. sen

Note que temos uma igualdade de dois números complexos. Para eles serem iguais, a parte real de um deve ser igual à parte real de outro e a parte imaginária de um deve ser igual à parte imaginária do outro. Sendo assim, temos:

(3)     cos (3 ^. ) = cos
(4)     sen (3 ^. ) = sen

Lembrando que cos (3 ^. ) = cos³ - 3 ^. sen^{2 .} cos, vamos resolver a equação (3):

cos (3 ^. ) = cos
cos³ - 3 ^. sen^{2 .} cos = cos

Passando o termo cos da direita para a esquerda:

cos³ - 3 ^. sen^{2 .} cos - cos = 0

Através da equivalência fundamental da trigonometria:

Podemos substituir o valor de sen²:

cos³ - 3 ^. (1 - cos² ) ^. cos - cos = 0

Efetuando algumas continhas:

cos³ - 3 ^. cos + 3 ^. cos³ - cos = 0
4 ^. cos³ - 4 ^. cos = 0

Colocando o termo 4 ^. cos em evidência:

4 ^. cos ^. (cos² - 1) = 0

Esta equação só irá resultar zero quando um dos fatores for ZERO, ou seja:

4 ^. cos = 0
cos = 0
= /2 ou = 3/2

cos² - 1 = 0
cos² = 1
cos = ±1
= 0  ou  =

E, lembrando da fórmula sen (3 ^. ) = sen³ + 3 ^. sen ^. cos² , podemos resolver a equação (4).

sen (3 ^. ) = sen
sen³ + 3 ^. sen ^. cos² = sen
sen³ + 3 ^. sen ^. cos² - sen = 0

Substituindo o termo cos² pela equivalência fundamental da trigonometria:

sen³ + 3 ^. sen ^. (1-sen² ) - sen = 0

Efetuando os cálculos:

sen³ + 3 ^. sen - 3 ^. sen³ - sen = 0
-2 ^. sen³ + 2 ^. sen = 0

Colocando o termo 2 ^. sen em evidência, temos:

2 ^. sen ^. (-sen² + 1) = 0

Ou seja, esta equação só ira resultar ZERO, quando um dos fatores for ZERO. Veja o cálculo:

2 ^. sen = 0
sen = 0
= 0  ou  =

-sen² + 1 = 0
sen² = 1
sen = ±1
= /2 ou = 3/2

Depois de todos estes cálculos a primeira conclusão foi: o módulo será 0 ou 1. O único número que possui módulo igual a 0 é o próprio 0. Esta é a nossa primeira resposta. Já o módulo 1 não nos diz nada.

Quando o módulo for 1, o argumento deve ser algum dos achados nos cálculos acima:

= /2 ou = 3/2 ou = 0  ou  =

Vamos visualizar tais números no plano complexo.

Portanto, as respostas que o exercício quer são:

Z = 0 ou
Z = 1 ou
Z = -1 ou
Z = i ou
Z = -i

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