(MACKENZIE - 74) A circunferência de raio a é tangente às duas semicircunferências menores e à semicircunferência maior. Se MN = NP = R, então a é igual a:

(A) R/2
(B) R/2
(C) R/4
(D) R/3
(E) R/2

À primeira vista, este exercício parece um pouco difícil. Você verá, que, com alguns pequenos artifícios, ele se torna uma simples aplicação do Teorema de Pitágoras.

Vamos começar traçando alguns segmentos que irão nos auxiliar na resolução:

Os segmentos amarelo e vermelho, juntos, têm o comprimento igual a R. Veja que o segmento amarelo vale a, portanto, o segmento vermelho vale (R - a). Como as duas semicircunferências menores são tangentes entre sí, o ângulo que o segmento vermelho forma com a base MP é 90^o. Estas são as primeiras informações que devemos guardar.
Veja, também, que o raio da semicircunferência com diâmetro MN vale R/2 (metade do raio da semicircunferência maior).
Continuando a traçar:

O traço verde é a junção do raio da semicircunferência menor com o raio da circunferência do desenho. Por isso seu valor é o que está na figura. O traço azul é exatamente o raio da semicircunferência menor. Agora sim. Devemos apenas aplicar o Teorema de Pitágoras.

(	R	+ a)2 =	(	R	)2 + (R - a)2
	2			2

Efetuando as operações:

R2	+ 2 .	R	.a + a2 =	R2	+ R2 -2Ra + a2
4		2		4

R2	+ Ra + a2 =	R2	+ R2 -2Ra + a2
4		4

Agora podemos cortar as parcelas comuns dos dois lados da igualdade.

Ra = R² -2Ra
Ra + 2Ra = R²
3Ra = R²
3a = R
a = R/3

Resposta certa, letra "D".

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