( IME - 2001 ) Sejam "a" e "b" números reais positivos e diferentes de 1.

Dado o sitema abaixo:

determine os valores de "x" e "y".

Esta questão consiste, basicamente, em "transformar" este sistema de equações - que, aparentemente, são difíceis - em um sitema com equações "mais bonitinhas".

Vamos começar trabalhando na segunda equação:

2 ^. log_a x = log_(1/b) y ^. log₍Öa) b

Note que, no lado esquerdo da igualdade podemos aplicar a propriedade de logaritmos e "passar" o 2 que está multiplicando, como expoente do logaritmando:

log_a (x²) = log_(1/b) y ^. log₍Öa) b

Do lado direito, podemos modificar a aparência das bases dos logaritmos.

111	1= b-1
b
1
Öa = a1/2

Efetuando a modificação:

log_a (x²) = log_(b-1₎ (y) ^. log_(a1/2₎ (b)

Podemos agora, aplicar uma propriedade de logaritmos e "passar" o expoente da base dividindo o sistema de logaritmo que a possui:

loga (x2) =	logb y	.	loga b
	-1		1/2

Efetuando as divisões:

log_a (x²) = - log_b y . 2log_a b

Vamos modificar a ordem da multplicação do lado direito:

log_a (x²) = - 2 . log_b y . log_a b

Agora, podemos "cortar", do lado direito, a base "b" com o logaritmando "b".

log_a (x²) = - 2 . log_a y

O "-2" que está multiplicando o logaritmo pode passar como expoente do logaritmando:

log_a (x²) =   log_a (y^-2)

Como há uma igualdade de dois logaritmos de mesma base, podemos igualar os logaritmandos (vulgarmente falamos "cortar" os logaritmos):

x² =  y^-2

x2 =	1
	y2

x2 = (	111	)2
	y

Note, que é dito no enunciado que "x" e "y" são números POSITIVOS. Portanto, podemos cancelar os quadrados dos dois lados e escrever:

x =1	111		(1)
	y

Esta será a nossa primeira "equação bonitinha", chamamos de equação (1).

Vamos voltar ao sistema do enunciado e trabalhar na primeira equação:

Podemos substituir o valor de 1/y que temos da equação (1) e substituir a raiz quadrada pela sua representação em forma de potência:

a^x . b^x = (a.b)^1/2

Aplicando uma propriedade de potenciação, podemos escrever:

(a.b)^x = (a.b)^1/2

Assim, "cortando" as bases, concluímos que:

x =1	111
	2

Lembrando, de (1),  que:

x =1	111
	y

O valor de "y" será:

111	=1	111
2		y

Portanto:

y = 2

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