( IME - 2002 )
(a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1-x).

(b) Considere o polinômio P(x) = 16x⁴ - 32x³ - 56x² + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.

Sendo P(x) do quarto grau, podemos escrever:

P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Onde "a", "b", "c", "d" e "e" são os coeficientes do polinômio. Sendo assim, podemos escrever P(1 - x):

P(1 - x) = a(1 - x)⁴ + b(1 - x)³ + c(1 - x)² + d(1 - x) + e

Resolvendo as potências:

P(1 - x) = a(1-4x+6x²-4x³+x⁴)+b(1-3x+3x²-x³)+c(1-2x+x²)+d(1-x)+e

Efetuando as multiplicações e arrumando os termos:

P(1-x) = ax⁴ + (-4a-b)x³ + (6a+3b+c)x² + (-4a-3b-2c-d)x + a+b+c+d+e

Para termos P(x) = P(x-1), os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois polinômios devem ser iguais. Portanto:

Portanto, uma possível resposta para o item (a) seria:

b = -2a
4a + 3b + 2c = -2d
a + b + c + d = 0

Como o coeficiente "e" não aparece em nenhuma condição, pode ser qualquer valor.

P.S.: Foi dito "uma possível resposta", pois se você combinar tais equações (isolar valores e substituir), poderá achar relações equivalentes mas com aparência diferente.

Resolução item (b): P(x) = 16x⁴ - 32x³ - 56x² + 72x + 77

Vamos dizer que P(x) possui raízes "r" e "w". Portanto, P(r)=0 e P(w)=0. Como o enunciado nos diz que P(x)=P(1-x), temos que P(r)=P(1-r), sendo P(r)=0 concluímos que P(1-r)=0. Então (1-r) também é raiz de P(x).
Pelo mesmo raciocínio temos P(1-w)=0. Então (1-w) também é raiz de P(x).

Agora o nosso objetivo na questão é descobrir o valor de "r" e "w", pois daí saberemos o valor numérico de cada raiz (que é o que está sendo pedido). Utilizando as "Relações de Girard" para o produto das raízes e para a soma dos produtos das raízes três a três, teremos:

Produto das raízes

r . (1 - r) . w . (1 - w) =1 1771 16 Efetuando as multiplicações: rw - rw2 - r2w + r2w2 =1 1771 16 Colocando em evidência "r" nos dois primeiros termos e "r2" nos dois últimos: r . (w - w2) - r2 . (w - w2) =1 1771 16 Colocando em evidência o termo (w - w2): (1)            (w - w2) . (r - r2) =1 1771 16

Soma dos produtos das raízes três a três

r . (1-r) . w + r . (1-r) . (1-w) + r . w . (1-w) + (1-r) . w . (1-w) = -1 191 2 Efetuando as "continhas": rw - r2w + r - rw - r2 + r2w + rw - rw2 + w - w2 - rw + rw2 = -1 191 2 Cortando os termos semelhantes: (2)            r - r2 + w - w2 = -1 191 2

Com as equações (1) e (2) teremos o seguinte sistema:

(1)	(w - w2) . (r - r2) =1	1771
		16

(2)	(r - r2) + (w - w2) = -1	191
		2

Se desenvolvermos este sistema do jeito usual (isolar e substituir), retrocederemos, iremos voltar para o polinômio P(x), ponto inicial de nossa trajetória. Para contornar esta dificuldade, vamos fazer uma jogada de MESTRE agora. Criaremos duas incógnitas auxiliares:

Com estas novas incógnitas, podemos rescrever o sistema anterior:

(1)	G . F =1	1771
		16

(2)	G + F = -1	191
		2

E agora passamos a ter um simples sistema de soma e produto que pode ser resolvido da maneira que você bem entender. Bom, se você chegou até este ponto, a resolução deste sistema não lhe é mistério. Resolvendo acharemos:

G = -1 171 4

F = -1 1111 4

Agora, utilizando estes valores na equação (3) e (4):

(3)            r - r2 = -1 1111 4 4r - 4r2 = -11 4r2 - 4r - 11 = 0 Aplicando Báscara, teremos: Neste ponto você deve estar se perguntando: "Qual valor de r irei usar?". Podes usar qualquer um. Se você escolher o primeiro, então o segundo será o (1-r), e vice-versa. Portanto, estes dois valores são raízes de P(x).

(4)            w - w2 = -1 171 4 4w - 4w2 = -7 4w2 - 4w - 7 = 0 Aplicando Báscara, teremos: Idem ao quadro ao lado, estes dois valores são raízes de P(x).

As respostas para o item "b" são os valores do quadro acima :-)

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