Qual o valor de "x" na equação:

log₂ x + log₃ x + log₄ x = 1

Para trabalhar com logaritmos, é sempre mais fácil termos as bases envolvidas igualadas. Vamos transformar todas bases na base 2:

log2 x +1	1log2 x1	1+1	1log2 x1	1= 1
	log2 3		log2 4

Sabendo que log₂ 4 = 2, vamos substituir:

log2 x +1	1log2 x1	1+1	1log2 x1	1= 1
	log2 3		2

Tirando o MMC, que vale 2 ^. log₂ 3

12 . (log2 3) . (log2 x) + 2 . (log2 x) + (log2 3) . (log2 x) = 2 . (log2 3)1

2 . log2 3

Como efetuamos o MMC dos dois lados da equação, podemos cortá-lo e colocar o termo log₂ x em evidência no numerador:

(log₂ X) ^. (2 ^. log₂ 3 + 2 + log₂ 3) = 2 ^. log₂ 3

Para facilitar os cálculos, vamos voltar o 2 como sendo log₂ 4 e somar as parcelas log₂ 3.

log₂ x^.(3^.log₂ 3 + log₂ 4) = 2^.log₂ 3

Aplicando a propriedade de logaritmos no termo 3^.log₂ 3 e no 2^.log₂ 3:

log₂ x^.(log₂ 3³ + log₂ 4) = log₂ 3²
log₂ x^.(log₂ 27 + log₂ 4) = log₂ 9

Podemos transformar a soma de logaritmos em uma multiplicação:

log₂ x ^. log₂ (27 ^. 4) = log₂ 9
log₂ x ^. log₂ 108 = log₂ 9

Vamos passar o log₂ 108 para o outro lado dividindo:

log2 x =1	log2 9
	1log2 1081

Agora, como os dois log's do lado direito estão na mesma base, podemos reverter o processo de troca de base e utilizar a base 108:

log₂ x = log₁₀₈ 9

Isolando o "x":

x = 2^log108 ⁹

¡¡¡Esta é a resposta final!!!

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