Uma dívida no valor de R$ 4200,00 deve ser paga em 24 prestações mensais em progressão aritmética (P.A). Após o pagamento de 18 prestações, há um saldo devedor de R$ 1590,00. Qual o valor da primeira prestação?

Nesta situação não estamos lidando com JUROS nas prestações, pois o exercício não menciona nada a este respeito. Portanto, iremos analisar as 24 prestações como sendo os 4200 reais distribuidos sem alterar o montante final, de acordo com a P.A.

Como o total da dívida é de R$4200,00, podemos dizer que a soma das 24 parcelas (cada parcela é um elemento da P.A.) resulta 4200. Portanto, utilizando os símbolos de PA temos:

S₂₄ = 4200

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A., temos:

S24 =1	1(a1 + a24).241
	2

Aplicando a fórmula do termo geral de uma PA no termo a₂₄:

4200 = (a₁ + a₁ + 23.R).12

Sendo que "R" é a razão da PA desta questão. Efetuando algumas operações:

4200	1= 2.a1 + 23.R
12

350 = 2.a₁ + 23.R        (1)

Vamos chamar esta equação de (1) e guardá-la.

Analisando a outra frase do enunciado: "Após o pagamento de 18 prestaçoes, há um saldo devedor de R$ 1590,00", podemos concluir que em 18 prestações pagamos 4200-1590, ou seja, 18 prestações já liquidaram 2610 reais da dívida. Portanto, podemos dizer que:

S₁₈ = 2610

Substituindo pela fórmula da soma:

S18 =1	1(a1 + a18).181
	2

1
2610	1= a1 + a18
9

Substituindo o a₁₈ pela fórmula do termo geral:

290 = a₁ + a₁ + 17.R
290 = 2.a₁ + 17.R        (2)

Esta é a equação (2). Juntando (1) e (2), temos o sistema de equações:

350 = 2.a₁ + 23.R         (1)
290 = 2.a₁ + 17.R        (2)

Efetuando a subtração (1) - (2):

350 -290 = 2.a₁ - 2.a₁ + 23.R  -17.R
60 = 6.R
R = 10

Agora, substituindo o valor de R na equação (1):

350 = 2.a₁ + 23.10
350 = 2.a₁ + 230
350 - 230 = 2.a₁
120 = 2.a₁
a₁ = 60

Então, a primeira parcela será de R$60,00.

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