Numa PG de 6 termos a soma dos termos de ordem impar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determinar a progressão.

Ordem de um termo significa a posição ocupada por ele na seqüência: primeiro, segundo, terceiro,...

Na progressão desta questão, com 6 elementos, temos os termos de ordem par - segundo (a₂), quarto (a₄) e sexto (a₆) - e de ordem ímpar - primeiro (a₁), terceiro (a₃) e quinto (a₅).

O exercício nos dá o valor da soma destes elementos, ou seja:

a₁ + a₃ + a₅ = 182
a₂ + a₄ + a₆ = 546

Vamos aplicar a fórmula do termo geral e substituir cada uma das parcelas acima citadas.

(1)      a₁ + a₁ ^. q² + a₁ ^. q⁴ = 182
(2)     a₁ ^. q + a₁ ^. q³ + a₁ ^. q⁵ = 546

Na equação (2), vamos colocar o fator "q" em evidência no lado esquerdo da igualdade:

q ^. (a₁ + a₁ ^. q² + a₁ ^. q⁴) = 546

Note, que a expressão que está em itálico na equação acima, é justamente o valor indicado na equação (1). Ou seja, vale 182. Substituindo:

q . 182 = 546
1
q =	546
	182
1
q = 3

Agora, sabendo este valor, podemos substituí-lo na equação (1) e calcular o valor de a₁:

a₁ + a₁ ^. 3² + a₁ ^. 3⁴ = 182
a₁ + a₁ ^. 9 + a₁ ^. 81 = 182
91 ^. a₁ = 182
a₁ = 2

Sabendo o primeiro termo e a razão, conseguimos determinar a progressão:

(2, 6, 18, 54, 162, 486)

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