Sendo (a_k), com 0 < k < n e k, os elementos de uma progressão geométrica, qual o valor de M?

Esta questão é bem interessante pela "visão" necessária para ser resolvida. Para os mais "encarnados" em matemática, podemos até utilizar o Método da Indução para provar que esta fórmula é verdadeira. Mas como isto não é um tópico abordado nos vestibulares (principal tema deste site), irei resolver de uma maneira mais "fácil".

Vamos começar escrevendo mais alguns termos que estão escondidos na equação:

Agora, vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PG em cada uma das parcelas da soma:

No denominador da fração maior, vamos calcular a soma de frações. O MMC será a₁.q^n-1. Pois, lembrando, o MMC deve ser um número que possamos dividir por todos os denominadores envolvidos na soma e, este número deve ser o menor. Neste caso, poderíamos utilizar a₁.qⁿ pois este número também conseguimos dividir por todos, mas não é o menor.

Vamos colocar "a₁" em evidência no numerador da fração maior e efetuar a soma do denominador:

Vamos efetuar a divisão das duas frações. Conserva-se a "de cima" e inverte-se a "de baixo".

Podemos cortar o fator em comum no numerador e no denominador:

Você pode tentar resolver agora esta questão de uma maneira diferente. Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Será que você consegue chegar ao mesmo resultado?

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

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