(PSACN - 2001) Observe a figura abaixo que representa três semi-circunferências de centros M, N e P, tangentes duas a duas, respectivamente, nos pontos A, B e C.
Os segmentos MM', NN', BB' e PP' são perpendiculares à reta r.
Se a medida do segmento BB' é 6 cm, a área do triângulo M'N'P', em cm², é igual a

      (A) 9
      (B) 10
      (C) 12
      (D) 18
      (E) 36

Vamos chamar o raio do círculo maior (centro N) de R₁, o raio do círculo menor (centro P) de R₃ e o raio do círculo médio (centro M) de R₂.

Primeiramente, vamos desenhar o triângulo que o exercício está pedindo a área (com o contorno verde logo abaixo):

Para calcular sua área, vamos dividi-lo em dois triângulos, o cinza e o laranja. Portanto, a área do triângulo pedido é igual à soma das áreas laranja e cinza. Vamos por partes.

O triângulo laranja possui base "b" e altura igual ao segmento MN. Veja a figura ao lado (está rotacionada).

O segmento NC é igual a R₁, e o segmento BC vale (2.R₃), portanto, NB = (R₁ - 2R₃). Veja que o segmento MB é igual a R₂ e o segmento MN é MB - NB, ou seja, MN = R₂ - (R₁ - 2R₃) ou MN = R₂ - R₁ + 2R₃.

Portanto, a área do triângulo laranja, que tem base "b" e altura MN, pode ser escrita como:

Alaranja =1	1b . ( R2 - R1 + 2R3)1
	2

Agora vamos ver a área cinza.

Se colocarmos a base do triângulo cinza como sendo "b" também, teremos para altura o segmento NP.

O segmento NP é o segmento NC menos PC, ou seja, NP = R₁ - R₃. Portanto, a área do triângulo cinza, que tem base "b" e altura NP, vale:

Acinza =1	1b . ( R1 - R3 )1
	2

A área que procuramos (área contorno verde) é a área cinza somada com a área laranja, ou seja:

A_verde = A_cinza + A_amarela

Substituindo estes pelos valores que já sabemos:

Averde =1	1b . ( R1 - R3 )1	1+1	1b . ( R2 - R1 + 2R3)1
	2		2

1
Averde =1	1b . ( R1 - R3 ) + b . ( R2 - R1 + 2R3)1
	2

Colocando o "b" em evidência, temos:

Averde =1	1b . ( R1 - R3 +  R2 - R1 + 2R3 )1
	2

1
Averde =1	1b . ( R2 + R3 )1
	2

Esta é a área que o exercício está pedindo. Precisamos agora achar alguma relação do "b" com os valores dos raios. Agora que começa mesmo o exercício!!!

Vamos traçar um triângulo retângulo muito especial no desenho do problema.

Veja, que o segmento NB' é o R1, o segmento BB' vale 6 e NB = (R1 - 2R3), como visto anteriormente. Aplicando o teorema de pitágoras, temos uma relação que será muito útil.

(R₁)² = (R₁ - 2R₃)² + 6²
Elevando ao quadrado:
(R₁)² = (R₁)²  - 4.R₁R₃ + 4.(R₃)² + 36

O termo (R₁)² pode ser cortado dos dois lados:

0 = - 4.R₁R₃ + 4.(R₃)² + 36
4.R₁R₃ = 4.(R₃)² + 36

Vamos dividir os dois lados da equação por 4.

(1)     R₁R₃ = (R₃)² + 9

Esta será a nossa equação (1). Guardamos e vamos pensar em um outro triângulo importante:

Criamos o ponto Q como indicado na figura ao lado. O segmento MQ é o mesmo que PP' que vale R3, portanto o QM' = MM' - MQ, ou seja: QM' = R2 - R3 e MP = R2 + R3

Veja agora outro triângulo que irá nos auxiliar:

Criamos o triângulo amarelo que tem base igual ao segmento NP e altura igual a "h". Lembrando do início da correção, temos NP = R1 - R3.

O triângulo QM'P' (azul escuro) é semelhante ao triângulo amarelo, por isso podemos fazer um cálculo de semelhança de triângulos. A altura do triângulo azul está para a altura do triângulo amarelo assim como a base do triângulo azul está para a base do triângulo amarelo. Matematicamente falando:

1R2 - R31	1=1	1R2 + R31
h		R1 - R3

Efetuando os cálculos:

(R₂ - R₃).(R₁ - R₃) = h.(R₂ + R₃)
R₂.R₁ - R₂.R₃ - R₃.R₁ + (R₃)² = h.(R₂ + R₃)

Note, que o elemento grifado em verde na equação acima é justamente o que temos na equação (1). Vamos substituir:

R₂.R₁ - R₂.R₃ - ((R₃)² + 9) + (R₃)² = h.(R₂ + R₃)
R₂.R₁ - R₂.R₃ - (R₃)² - 9 + (R₃)² = h.(R₂ + R₃)

Podemos cancelar os termos (R₃)² :

R₂.R₁ - R₂.R₃ - 9 = h.(R₂ + R₃)

Isolando "h":

h =	R2.R1 - R2.R3 - 9
	R2 + R3

Guardamos por uns momentos. Vamos voltar à última figura:

Note que o segmento "b" pode ser expresso como NN' menos "h" e menos PP', ou seja:

b = R₁ - h - R₃

substituindo o valor de h que acabamos de calcular:

b = R1 -1	1R2.R1 - R2.R3 - 91	1- R3
	R2 + R3

Tirando o MMC, que vale (R₂ + R₃), temos:

b =1	1R1.(R2 + R3) - (R2.R1 - R2.R3 - 9) - R3.(R2 + R3)1
	R2 + R3

Efetuando as multiplicações:

b =1	1R1.R2 + R1.R3 - R2.R1 + R2.R3 + 9 - R3.R2 - (R3)21
	R2 + R3

Podemos anular o R₁.R₂   com o -R₂.R₁ e também o R₂.R₃ com o -R₃.R₂.

b =1	1R1.R3 + 9 - (R3)21
	R2 + R3

Lembrando da equação (1) R₁R₃ = (R₃)² + 9, vamos substituir no valor de "b" que temos:

b =1	1(R3)2 + 9 + 9 - (R3)21
	R2 + R3

Anulando os termos (R₃)² :

b =1	18
	1R2 + R31

Pronto, agora que já sabemos o valor de "b", podemos voltar à equação de A_verde e finalizá-la!

Averde =1	1b . ( R2 + R3 )1
	2

Substituindo o valor de "b":

Averde =1	1 18 . ( R2 + R3 )1 1(R2 + R3)1
	2

Podemos anular os fatores ( R₂ + R₃ ):

Averde =1	1181
	2

A_verde = 9

Esta é a resposta final!!! YEAH¡¡¡!!!

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