A figura abaixo representa um raio emitido de um ponto A. Refletido pelos espelhos planos 1 e 2, nessa ordem, e captado por um receptor no ponto B. Os espelhos refletores têm 5 m de comprimento, são paralelos e a distância entre eles é de 2,8 m. Todos os ângulos entre o raio e os espelhos têm a mesma medida .

Além disso, o ponto A está situado numa parede perpendicular aos espelhos refletores e a uma altura h do espelho 1.

Se é a medida do menor ângulo entre a parede e o raio, DETERMINE a expressão de h em função de .

Para agilizar os nossos cálculos, vamos dar nomes aos pontos envolvidos no desenho:

Veja, que o triângulo FAB é retângulo em A, portanto, os ângulos e são complementares (somados resultam 90^o).
O ângulo MED também é reto, e como CED vale , concluímos que o ângulo MEC só pode ser .

Veja, que o segmento AC vale 5 metros. Vamos dizer que o segmento AB vale "X", portanto, o segmento BC irá valer 5-X. Como o triângulo BCE é isósceles, MC irá valer a metade de BC, ou seja, (5 - x)/2.

Com todos estes dados, podemos ver que os triângulos FAB e MEC são semelhantes (pois possuem os mesmos ângulos internos). Sendo o segmento ME igual à distância entre os espelhos, podemos fazer uma semelhança de triângulos. A base do MEC está para a base FAB assim como a altura do MEC está para a altura do FAB:

1
1 15 - x1 1 2	1=1	12,81
x		h

Efetuando os cálculos:

15 - x1	1. h = (2,8) . x
2

Vamos substituir o 2,8 pelo seu valor fracionário, ou seja, 28/10 que, simplificando, vale 14/5.

15 - x1	1. h =1	1141	. x
2		5

Passando o 2 para o outro lado multiplicando e o 5 também, temos:

(5 - x) ^. h ^. 5 = 14x ^. 2
25h - 5xh = 28x
25h = 28x + 5xh

Colocando o "x" em evidência do lado direito da igualdade:

25h = x^.(28 + 5h)

Isolando o "x":

x =1	25h
	128 + 5h1

Pronto. Agora, pegando o triângulo FAB com suas medidas indicadas:

Podemos calcular o valor da TANGENTE do ângulo . Lembrando, que tangente se calcula através de CATETO OPOSTO dividido por CATETO ADJACENTE, temos:

	1	25h	1
tan( ) =1		128 + 5h1
		h

Efetuando a divisão das frações:

tan( ) =1	25h	1.1	1
	128 + 5h1		h

Agora podemos "cortar" o fator "h" que está em cima e em baixo da fração:

tan( ) =1	25
	1(28 + 5h)1

Podemos "passar" o (28+5h) para o lado esquerdo multiplicando:

(28 + 5h) . tan( ) = 25

28 + 5h =1	25
	1tan( )1

1
5h =1	25	1- 28
	1tan( )1

1
		25	1- 28
h =1		1tan( )1
	5

Efetuando a divisão entre as frações:

h =1	5	1-1	1281
	1tan( )1		5

Este é o valor de "h" em função do ângulo .

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