Determine o resto da divisão de

1! ^. 5 + 2! ^. 11 + ... + K! ^. (K² + 3k + 1) + ... + 200! ^. 40601

por 2004

A primeira coisa a fazer é visualizar o formato das parcelas que estão sendo somadas. Cada parcela é do tipo K! ^. (K² + 3k + 1) com k variando de 1 até 200.

Para confirmar esta afirmação, vamos substituir "k" por alguns valores:

Veja que os valores conferem com os dados no enunciado. Sendo assim, podemos escrever a soma do enunciado como sendo um somatório:

1!^.5 + 2!^.11 + ... + K!^.(K² + 3k + 1) + ... + 200!^.40601 =

Se conseguirmos descobrir o valor numérico deste somatório, será fácil descobrir o resto da divisão dele por 2004.
Para facilitar a resolução, vamos trabalhar somente com a expressão K!^.(K² + 3k + 1), pois se conseguirmos simplificá-la, o nosso trabalho será muito mais rápido.

A partir de agora devemos saber uma propriedade:

Voltando à expressão K!^.(K² + 3k + 1), vamos efetuar a multiplicação:

K!^.(K² + 3k + 1)

K! ^. K² + K! ^. 3k + K!

K! ^. K ^. K + 3 ^. K! ^. k + K!

Note que os dois termos grifados em verde na última linha podem ser substituidos pela equivalência (1):

[(k+1)! - k!] ^. K + 3 ^. [(k+1)! - k!] + K!

Efetuando as multiplicações (propriedade distributiva):

(k+1)! ^. K - k! ^. K + 3 ^. (k+1)! - 3 ^. k! + K!

Novamente, o termo grifado acima pode ser substituido pela equivalência (1):

(k+1)! ^. K - [(k+1)! - k!] + 3 ^. (k+1)! - 3 ^. k! + K!
(k+1)! ^. K - (k+1)! + k! + 3 ^. (k+1)! - 3 ^. k! + K!

Somando os termos comuns (grifados acima):

(k+1)! ^. K + 2 (k+1)! - k!

Podemos colocar o termo (k+1)! em evidência:

(k+1)! ^. (K + 2) - k!

Note que (k+1)! ^. (K + 2) é a mesma coisa que (K + 2)!:

(K + 2)! - k!

Agora encontramos uma forma mais simples de expressar o nosso somatório inicial:

Agora fica barbadinha! É só a gente substituir alguns valores de k, ver qual propriedade que acontence e achar o valor do somatório:

Veja que teremos várias parcelas sendo anuladas:

Siga a lógica dos cortes. Os termos 6!, 7!, -197! e -198! serão também anulados pelas parcelas que não escrevemos na tabela. Os únicos que irão sobrar são os termos -1!, -2!, 201! e 202!. Sendo assim, podemos concluir:

Agora podemos rescrever o enunciado como sendo:

"Determine o resto da divisão de  (201! + 202! - 3)  por 2004"

Fatorando o número 2004 temos:

2004 = 2^{2 .} 3 ^. 167

Ou seja, qualquer número que tiver em sua fatoração o 4 o 3 e o 167 será divisível por 2004. Veja que o 201! e o 202! possuem tais fatores em seu desenvolvimento, tornando-os divisíveis por 2004. Ao somar dois números divisíveis por 2004, o resultado é um número divisível por 2004. Sendo assim, (201! + 202!) é divisível por 2004.

Com este falatório todo, podemos concluir que (201! + 202! - 3) é três unidades menor que um número divisível por 2004. Ou seja, faltam 3 unidades para ele se tornar um divisível por 2004. Sendo assim, o resto será:

resto = 2004 - 3 = 2001

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster cursinho.hpg.com.br

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