Banco de questões - Trigonometria (Arco duplo)

Para resolver esta questão, devemos lembrar as fórmulas do seno e co-seno de arcos duplos (dobro de um arco) e a equivalência fundamental da trigonometria. Veja abaixo:

Seno de um arco duplo	sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
Co-seno de um arco duplo	cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
Equivalência Fundamental	sen²(x) + cos²(x) = 1

Agora, com estas fórmulas em mãos, podemos substituir na equação do enunciado:

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - [cos²(x) - sen²(x)] - 1
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - 1

Vamos substituir o "1" do lado direito da equação pela "Equivalência fundamental":

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - [sen²(x) + cos²(x)]
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) + sen²(x) - sen²(x) - cos²(x)

Podemos cancelar os termos sen²(x) do lado direito:

sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - cos²(x) - cos²(x)
sen(x) - cos (x) = 2sen(x)cos(x) - 2cos²(x)

Podemos colocar o termo 2cos(x) em evidência do lado direito da equação:

sen(x) - cos (x) = 2cos(x)[sen(x) - cos(x)]

Agora podemos passar dividindo o termo entre colchetes para o lado esquerdo:

1sen(x) - cos (x)1	= 2cos(x)

sen(x) - cos (x)

Note, que, esta divisão só irá existir se o denominador for diferente de ZERO. Portanto, para podermos prosseguir com a resolução, devemos garantir que:

sen(x) - cos (x) 0
sen(x) cos (x)

Para isso, devemos ter:

x 45^oe x 225^o

pois estes são os valores, entre 0^o e 360^o que possuem o seno igual ao co-seno.

ATENÇÃO

Devo lembrar, que, estes valores não estarão presentes mais na possível resposta do nosso cálculo, a partir de agora (pois para prosseguir tivemos que garantir que sen(x)-cos (x)0), mas não quer dizer que não poderão ser respostas da questão. Para afirmarmos se eles são, ou não, respostas da questão, devemos testar cada valor e ver se achamos uma igualdade. Deixaremos este teste para o final da questão.

Continuando, efetuando a divisão em que paramos:

1sen(x) - cos (x)1	= 2cos(x)

sen(x) - cos (x)

1 = 2cos(x)

Portanto:

cos(x) =	1

	2

E isso irá ocorrer quando x for igual a 60^o ou 300^o. Ou seja, transformando em radianos:

x =		ou x =	5

	3		3

Estes foram os valores encontrados no nosso cálculo. Agora iremos testar os valores x = 45^oe x = 225^o para saber se eles irão entrar na resposta final, ou não. Para testar, devemos simplesmente substituir o valor de x pelo valor a ser testado na equação original sen(x) - cos (x) = sen (2x) - cos (2x) - 1.

x = 45^o

sen(45^o) - cos (45^o) = sen (2.45^o) - cos (2.45^o) - 1
sen(45^o) - cos (45^o) = sen (90^o) - cos (90^o) - 1

11	1-1	11	1= 1 - 0 - 1

2		2

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 45^o é uma resposta válida para a questão.

45^o =	11	rad

	4

x = 225^o

sen(225^o) - cos (225^o) = sen (2.225^o) - cos (2.225^o) - 1
sen(225^o) - cos (225^o) = sen (450^o) - cos (450^o) - 1

1-1	11	1- ( -1	11	1) = 1 - 0 - 1

	2		2

Ou seja:

0=0

Que é uma verdade matemática, portanto, x = 225^o também é uma resposta válida para a questão.

225^o =	151	rad

	4

Mas não devemos nos esquecer que os arcos que são formado por estes MAIS um número inteiro de voltas, possuem os mesmos valores de co-seno. Por exemplo, o arco 60^o e o arco 420^o (360^o+60^o) possuem o mesmo valor de co-seno pois o segundo é o primeiro mais uma volta. Representamos este número de voltas por 2k. Portanto, a resposta correta seria:

x =1	11	1+ 2k ou x =1	151	1+ 2k

	3		3

x =1	11	1+ 2k ou x =1	151	1+ 2k

	4		4

Estas são as respostas corretas! :-)

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