(IME - 1996) Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:

Esta questão consiste em nada mais nada menos que uma aplicação de regras. Qualquer questão que venha a pedir o maior valor do desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser resolvida assim.

A primeira coisa a fazer é lembrar a fórmula de um termo qualquer do desenvolvimento do binômio genérico (A + B)ⁿ:

Onde (famoso número binomial), "A" e "B" são os termos do binômio e "n" é o expoente do binômio.

Agora vem a manha secreta. Sabendo a fórmula do T_p+1, vamos encontrar a fórmula para o T_p. Para isso é só substituir o p por p-1.

TchãTchãTchãTchãããããã... Dividimos as duas fórmulas, T_p+1/T_p:

Vamos substituir o número binomial pela sua fórmula e desenvolver os cálculos:

Conserva-se a fração de cima e multiplica-se pela de baixo:

Vamos agrupar os termos semelhantes:

Dá para "cortar" o n!, dividir os termos com base B e A e desenvolver um fator das fatoriais p! e (n-p+1)!:

Agora dá para simplificar os últimos fatoriais, e teremos:

Esta "fórmula" acima nos dirá qual o maior termo do desenvolvimento da questão. Note que T_p+1 é o termo posicionado imediatamente depois do T_p. Esta fórmula nos dá a relação existente entre um termo qualquer e seu sucessor.

Note que se tivermos T_p+1 igual à T_p multiplicado por um número MAIOR que 1, então podemos garantir que T_p+1 > T_p.

Portanto, para T_p+1 ser maior que T_p, devemos ter:

Enquanto isto acontecer, o próximo termo é sempre maior que o anterior.

Vamos voltar ao nosso exercício. Substituindo os valores do binômio do enunciado na desigualdade acima, teremos:

Ou seja, enquanto p for menor que 16,5, o termo seguinte será maior que o termo anterior. Como "p" é natural, o último "p" a satisfazer esta equação é o p=16, que nos afirma que T₁₆₊₁ > T₁₆.

Sendo assim, o maior termo do desenvolvimento do binômio dado no enunciado é o DÉCIMO SÉTIMO TERMO.

Atenciosamente
Prof. Caju
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