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| BANCO DE QUESTÕES (Trigonometria) (IME) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação
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Para tal demonstração, devemos restruturar a equação. Veja a seguir:
Veja que não houve modificação numérica, apenas uma mudança estética para podermos utilizar algumas ferramentas. O co-seno ao cubo foi separado em uma multiplicação de um linear por um quadrado e multiplicamos os dois lados da igualdade, duas vezes, por 2. Vamos nos atentar para os fatores grifados abaixo:
Aplicando a fórmula de prostaférese nos fatores grifados acima, teremos:
Agora vamos aplicar a
fórmula do co-seno do arco duplo nos dois co-senos ao quadrado que sobraram e trocar o
Efetuando as multiplicações: |
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Dá para cortar a parcela sen[(A+B)/2] e colocar em evidência os fatores que possuem sen[(A+B)/2] e sen[(A-B)/2].
Podemos aplicar, novamente, as fórmulas de prostaférese na soma e na subtração de co-senos acima. |
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Podemos cortar os fatores 2 que estão multiplicando todas as parcelas. Mas devemos ter uma atenção redobrada neste momento. Note que há também um fator sen[(A-B)/2] que também está presente em todas as parcelas. Mas este nós não podemos cortar, pois poderíamos estar cometendo o erro de dividir por ZERO, que é algo que não existe. Portanto, vamos apenas colocar este fatore em evidência.
Esta é a equação que vai finalizar o problema. Veja que temos uma multiplicação de dois fatores resultando ZERO. Isto só irá ocorrer quando, necessariamente, um dos fatores seja ZERO. Vamos igualar o primeiro a ZERO.
Como queríamos demonstrar. Como o exercício não pede para provar a unicidade desta solução, podemos dar como terminada a resolução. Se você quiser, iguale também o segundo fator a zero e veja o que acontece. Atenciosamente voltar para a listagem das dúvidas resolvidas
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