Este tópico vem após exponenciais pois é usado como a "volta" da exponencial. Veja só.

Sabemos que 5 elevado na potência 2 resulta 25. Agora vamos mudar o contexto e fazer uma pergunta.
- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?

Você deve estar pensando:
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!

Sim, porque essa é bem fácil, vamos começar de baixo.

O logaritmo serve para isso. Esta pergunta poderíamos interpretar da seguinte forma:

log₅25=x

Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.
Cada elemento possui um nome. Vamos ver:

Note que anteriormente dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura acima está escrito que "x" é o "logaritmo", portanto, concluímos que o LOGARITMO É UM EXPOENTE.

Existem algumas restrições quanto a estes valores. O valor de "N" deve sempre ser POSITIVO, ou seja, N>0. O valor de "b" também deve sempre ser positivo, mas também deve ser diferente de 1, ou seja, b>0 e b1. Já o "x" pode ser qualquer número. No decorrer deste capítulo iremos provar cada uma destas propriedades. Á estas condições, damos o nome de "Condições de existência do logaritmo".

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA

N>0 b>0  e   b1

Assim como a potênciação está "ligada" à radiciação, os logaritmos estão "ligados" às exponenciais. Por este motivo podemos transformar um em outro. Veja a equivalência fundamental:

Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e vice-versa. Vamos dar um exemplo de cada:

Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?

Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

log₆ 216 = x

Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.

Agora para resolver aplicamos a equivalência fundamental e resolvemos:

    log₆ 216=x          <=>           216=6^x   

Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Para isso vamos fatorar o 216.

6³=6^x    Cortando as bases
x=3       Portanto, log₆ 216=3

Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equação 5^x = 6?

Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

   5^x = 6       <=>    x = log₅6   
Esta é a resposta

A volta da equivalência fundamental é tratada em uma propriedade muito especial dos logaritmos. Veja o exercício abaixo:

Qual o valor de x na expressão x = 5^log53.

Vamos substituir log₅3 por "y". Com isso teremos:

y = log₅3
x = 5^y

Aplicando a volta da equivalência fundamental:

log₅x = y

Agora, substituindo o valor original de "y":

log₅x = log₅3

Com isso podemos cortar os logaritmos de base 5 dos dois lados da igualdade.

x = 3

Assim, teremos a propriedade:

Ou seja, quando tivermos uma potência, em forma de logaritmo com a mesma base desta potência, podemos cortar.

Provaremos agora todas as condições de existência dos logaritmos. Por que a base deve ser um número positivo? Veja o exemplo (falso) abaixo:

Vamos ver agora por que a base nunca pode ser 1. Veja o exemplo (falso):

Vamos ver agora por que o logaritmando nunca pode ser negativo. Veja o exemplo (falso):

Veja agora outro exemplo do uso da equivalência fundamental para calcular o valor de logaritmos:

Mais um exemplo:

Mais um exemplo nunca é demais:

log25(0,2)	Igualando a "x".
log25(0,2)=x	Aplicando a equivalência fundamental.
0,2=25x	Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der.
	Aplicando as propriedades de potenciação.
5-1=52x	Cortando as bases.
-1=2x x=	Esta é a resposta: log25(0,2) =

Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução. Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.

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